La crescita esponenziale

All’inizio di questa storia del coronavirus, nel post In isolamento, accennavo al fatto che durante il periodo in cui ho insegnato matematica applicata nelle superiori avevo dedicato molta attenzione alla funzione esponenziale. Ho ritrovato in cantina molti materiali di allora, di cinquant’anni fa, ritrovato vecchie tesine dei miei studenti, appunti, schemi di lezioni e mi sono reso conto che riuscivamo a fare anche cose abbastanza sofisticate come ad esempio simulare la crescita di popolazioni di viventi utilizzando solo carta e matita e tabelle per la generazione di sequenze casuali di numeri.

Nel ’78 tra le altre preparammo per gli esami di maturità una tesina, che purtroppo è andata dispersa, in cui avevamo simulato la crescita della popolazione italiana partendo dal problema generato dai bassi tassi di natalità dell’epoca per prevedere come sarebbe evoluto l’equilibrio tra le popolazione degli anziani in pensione e la popolazione degli attivi. Trovammo che il rapporto numerico tra le due popolazioni con il passar del tempo sarebbe diventato insostenibile per il sistema pensionistico e che il disequilibrio si sarebbe verificato alla metà degli anni ’80.

Partendo dal problema della crescita di una popolazione di batteri in un ambiente limitato avevamo saggiato tanti ambiti in cui la crescita esponenziale era sempre un nodo problematico che si scontrava con i limiti del contesto in cui si verificava. All’epoca ero stato molto condizionato nelle mie scelte didattiche dal dibattito intorno alla grande simulazione digitale del sistema ecologico terrestre che aveva prodotto un famoso rapporto di cui ho già parlato anche in questo blog. Finanza ed economia, Limiti dello sviluppo, Limiti dello sviluppo 3, per chi volesse rileggerli, ora abbiamo tutto il tempo.

Come dicevo, questa rivisitazione dei lavori didattici di allora mi serviva per rientrare in argomenti e in tecniche di calcolo che in parte ho dimenticato. Pur applicando un approccio molto semplice, aritmetica di base, mi sono subito allarmato: la diffusione esponenziale del virus, applicando i parametri che gli esperti gradualmente andavano svelando, oltre al disastroso disordine nelle nostre istituzioni civili, avrebbe causato un numero di decessi inimmaginabile. Ho fatto e rifatto i conti temendo di aver sbagliato e ho deciso di non scrivere nulla per non contribuire a diffondere paura e disperazione.

Ora lo scenario catastrofico è disvelato in Lombardia e occorre che tutti capiscano perché non si può mollare e la nostra disciplina è essenziale per evitare il peggio.

La mia analisi si basa semplicemente su un foglio di calcolo tipo Excel in cui ho rappresentato su una colonna una crescita esponenziale e su una colonna parallela la numerosità dei positivi accertati mano a mano che i dati sono pubblicati. L’unità di tempo utilizzata è una giornata.

La funzione esponenziale si basa su un solo parametro, il tempo di raddoppio della grandezza. Io ho assunto una ipotesi ottimistica che cioè il raddoppio avvenga ogni 2,8 giorni, alcuni epidemiologi suppongono che il raddoppio sia ogni 2,5 giorni. Anche in questa ipotesi ottimistica la crescita in 60 giorni è devastante.

Graf.1

Questo sarebbe l’andamento se il contagio non avesse ostacoli. Un contagio di 3.000.000 persone in due mesi significherebbe, assumendo una letalità del 2% (sottostimando anche in questo caso), si avrebbero in due mesi 60.000 morti.

Proviamo ora a rappresentare la stessa curva riferita ai primi 30 giorni dell’epidemia, la forma è esattamente la stessa, quello che nel grafico 1 sembrava un andamento piatto in realtà cambiando la scala ha lo stesso andamento esplosivo.

Graf. 2

I due grafici, simili ma diversissimi, corrispondono a punti di vista diversi di chi usa scale temporali diverse. Se leggiamo il primo grafico nel primo mese la situazione non allarma ci sono solo 28 morti su 1400 contagiati ma la situazione diventa rapidamente ingovernabile perché nel mese successivo i morti sono 60.000 e il contenimento mediante l’isolamento dei contagiati e il distanziamento sociale ha effetti troppo lenti. La popolazione ha poca pazienza se è presa dal panico o dalla rassegnazione. In questi due grafici c’è la storia delle incertezze iniziali e degli stop&go della gestione attuale.

Torniamo al mio foglio excel. Ho costruito la funzione esponenziale di cui avete visto due prime rappresentazioni grafiche. Sono i contagi, una grandezza in realtà ignota che sfugge a qualsiasi accertamento e misura diretta nemmeno se fossimo in grado di fare il tampone all’intera popolazione, qualsiasi fotografia sarebbe superata poche ore dopo poiché la crescita è appunto esponenziale e quindi sempre più veloce.

Il secondo parametro che ho assunto nel mio modello, poiché il foglio che sto costruendo è un modello approssimato della realtà, è il tempo di incubazione cioè l’intervallo di tempo che intercorre tra il contagio e la manifestazione dei sintomi riconosciuti con i tamponi. Anche su questo gli esperti hanno formulato ipotesi molto varie ma tutti concordavano sul fatto che la gamma di possibilità si trova dentro l’intervallo di 14 giorni per cui se per 14 giorni non hai avuto contatti con agenti infettanti e non hai sintomi sei certo di non aver contratto il virus. Il tempo di incubazione è variabile ma a sentire gli esperti la media dovrebbe essere intorno ai 6 giorni. Su grandi numeri e con i calcoli molto semplici che mi accingo a fare, posso assumere che il tempo di incubazione sia fisso e uguale per tutti a 6 giorni. Se così fosse i positivi con sintomi sono gli infettati della settimana prima. Quindi ho costruito un’altra colonna di dati che è la copia dei valori della funzione esponenziale spostata di 6 giorni. Ho chiamato questa colonna valori temuti, sono ancora valori teorici che però possono essere messi a confronto con i valori veri, quelli che giornalmente ci vengono rendicontati dalla protezione civile.

Bene ora cominciamo a leggere la tabella.

Tab. 1

Ci siete ancora? avete desistito? fate uno sforzo, il tempo lo avete.

Nella tabella ci sono due frecce, che partono dal giorno 30 della epidemia. La prima mostra che gli infettati di sei giorni prima ora sono manifesti (è una ipotesi di lavoro del mio modello), la seconda freccia mostra che nel giorno 30 i contagiati sono 1.680 cioè 1300 persone sono infettate ma non lo sanno.

Ora passiamo alla colonna valori osservati. Il primo valore è pari a 100. Perché si parte da questo valore e perché prima non ho messo niente? Perché leggendo grafici e tabelle di istituzioni internazionali che sono costruite per comparare lo sviluppo dell’epidemia in paesi diversi si assume convenzionalmente come inizio della epidemia il momento in cui i sintomatici sono almeno 100. In una di queste tabelle ho trovato che l’Italia aveva come valore di inizio nelle tabelle comparative il giorno 22 febbraio 2020 con un numero di contagiati rilevati pari a circa 100. Da ciò ho costruito la colonna Data che corrispondeva al 25° giorno della crescita esponenziale da cui ero partito. Quindi il modello iniziale in cui avevo assunto solo la velocità di crescita si arricchisce induttivamente assumendo dalle tabelle internazionali che il primo contagio, il vero caso 1 doveva essere stato verso la fine di gennaio.

Ora potete osservare le due colonne Valori temuti (valori teorici del modello esponenziale) e Valori osservati. Normalmente chi costruisce modelli si chiede se le due colonne (previsione teorica) e valori osservati si avvicinano abbastanza, esistono test statici che misurano tale somiglianza e validano il modello in base ai dati osservati. Ve lo risparmio ma questo era una calcolo che a scuola facevamo sistematicamente.

Ovviamente mentre i puntini con la crocetta sono la realtà, la curva verde dei pallini è il modello teorico che potrebbe essere errato perché troppo ottimista o troppo pessimista ma ciò che interessa qui osservare è che le due curve si intersecano: fin verso il 15 marzo c’erano più casi osservati che casi attesi, dopo il 15 marzo l’andamento dei casi osservati risulta inferiore ai casi attesi e la distanza tra i due valori diventa sempre più grande. Direte voi che è un miraggio che il modello teorico va cambiato perché combaci meglio (si dice fitti) con la distribuzione reale. Cosa è successo? ad esempio può essere successo che la velocità di crescita sia diminuita e che l’intervallo di raddoppio sia di 3 o 3,5 giorni. Magari fosse! Questo vorrebbe dire che le misure di distanziamento sociale e le tante precauzioni che sono state prese hanno avuto qualche effetto a partire dal 10 marzo, 5 o sei giorni prima il momento in cui la variazione dell’andamento è apparsa evidente.

Comunque abbiamo un altro modo per visualizzare questa situazione. Una distribuzione di dati di tipo esponenziale in genere non si rappresenta su una carta quadrettata, rapidamente i dati non sarebbero rappresentabili, tantomeno su un piano cartesiano in cui si ha la stessa metrica sui due assi x ed y, ma su carte in cui una dimensione è una scala logaritmica.

Potete facilmente osservare che sull’asse delle y la distanza tra 1.000.000 e 1000 è pari a quella tra 1000 e 1. Capire bene come funziona la trasformazione dei dati in logaritmi ci porterebbe lontano, fidatevi. La cosa che ci interessa sapere è che una curva esponenziale su una scala logaritmica è linearizzata, appare come una retta. Infatti la curva verde, certamente esponenziale, si trasforma in un retta mentre le crocette dei dati osservati si dispongono su una curva che interseca la verde e flette verso il basso segno che pur essendo un andamento pericolosamente crescente non cresce esponenzialmente ma riduce la velocità.

Tutto bene? magari! è un timido segno che però ci deve confermare nello sforzo che stiamo facendo che è l’unico possibile se si vuole evitare il disastro completo.

Il problema aperto è: quanti sono i pericolosi? Quanti sono coloro che in questo momento sono infettati ma non lo sanno e non credono di esserlo? Lo sapremo tra sei giorni perché secondo il mio modello tutti avranno sintomi e saranno testati con i tamponi e contati. Per ora posso stimare che siano non meno di 100.000. Questo vuol dire che non dobbiamo abbassare la guardia, ciascuno di noi potrebbe essere uno di questi.

Questa è una esercitazione didattica per occupare il tempo e per condividere dei ragionamenti, spero non troppo errati e fuorvianti.

5 risposte a "La crescita esponenziale"

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